Cálculo Ejemplos

$9 x \cos (3 x)$

Paso 1

Escribe $9 x \cos (3 x)$ como una función.

$f (x) = 9 x \cos (3 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 9 x \cos (3 x) d x$

Paso 4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int x \cos (3 x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (3 x)$ .

$9 (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$9 (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Paso 8

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Paso 9

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Paso 13

Reescribe $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ como $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 3 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Paso 15.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 15.3.1

Cancela el factor común.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Paso 15.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (x \sin (3 x)) + \cos (3 x) + C$

$3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 9 x \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$