Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Paso 4

Sea $u = 5 - 7 x$ . Entonces $d u = - 7 d x$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 5 - 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$0 - 7$

Paso 4.1.4

Resta $7$ de $0$ .

$- 7$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Paso 5.3

Mueve $7$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Paso 9.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Paso 9.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.2.1

Mueve $u^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Paso 9.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 4}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ como $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Paso 11.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Paso 11.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 11.2.5

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Paso 11.2.6

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Paso 11.2.7

Cancela el factor común de $3$ y $21$ .

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Paso 11.2.7.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Paso 11.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Paso 11.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Paso 11.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$