Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

Paso 4.2

Separa las fracciones.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 4.3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

Paso 4.4

Divide $x$ por $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

Paso 7.2

Multiplica $\int \cot (x) d x$ por $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

Paso 8

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 9

Reescribe $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ como $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$