Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.2.6.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{2 x}$

Paso 2

Como la función se acerca a $\infty$ desde la izquierda y a $- \infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$