Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $3 x^{2} - x^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 0$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 - {(2)}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$12 - 8$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $8$ de $12$ .

$4$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (2, 4)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(2, 4)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - {(1)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 - 1$

Paso 3.1.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$2$

Paso 3.2

Evalúa en $x = \frac{5}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $\frac{5}{2}$ por $x$ .

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica $3 (\frac{25}{4})$ .

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Paso 3.2.2.1.4.1

Combina $3$ y $\frac{25}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $25$ .

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Paso 3.2.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.2.2.1.6

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

Paso 3.2.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

Paso 3.2.2.2

Para escribir $\frac{75}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

Paso 3.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Multiplica $\frac{75}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

Paso 3.2.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

Paso 3.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

Paso 3.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.5.1

Multiplica $75$ por $2$ .

$\frac{150 - 125}{8}$

Paso 3.2.2.5.2

Resta $125$ de $150$ .

$\frac{25}{8}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, 4)$

Mínimo absoluto: $(1, 2)$

Paso 5