Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 9

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 10.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x)]_{0}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $0$ .

$2 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Paso 12.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Paso 12.3

Evalúa $\arctan (x)$ en $2$ y en $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4

Simplifica.

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Paso 12.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$2 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 12.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$2 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 (4 - \frac{0}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 12.4.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$2 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (4 - \frac{0}{1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 (4 - 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (4 + 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.6

Suma $4$ y $0$ .

$2 \cdot 4 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.9

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 12.4.9.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.4.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$8 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.9.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.11

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 12.4.11.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.4.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.11.2.2

Cancela el factor común.

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$8 - 6 (2 - \frac{0}{1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$8 - 6 (2 - 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 - 6 (2 + 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.13

Suma $2$ y $0$ .

$8 - 6 \cdot 2 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.14

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$8 - 12 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Paso 12.4.15

Resta $12$ de $8$ .

$- 4 + 3 (\arctan (2) - \arctan (0))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.1

Evalúa $\arctan (2)$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - \arctan (0))$

Paso 13.1.1.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - 0)$

Paso 13.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 + 0)$

Paso 13.1.2

Suma $1.10714871$ y $0$ .

$- 4 + 3 \cdot 1.10714871$

Paso 13.1.3

Multiplica $3$ por $1.10714871$ .

$- 4 + 3.32144615$

Paso 13.2

Suma $- 4$ y $3.32144615$ .

$- 0.67855384$

Paso 14