Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Paso 1

Reescribe $8$ como $9$ más $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Paso 7

Reescribe $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ como $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$