Cálculo Ejemplos

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 \arctan (\frac{t}{2})$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arctan (t)$ y $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Paso 2.8

Combina $5$ y $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Paso 3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Paso 3.3.3

Combina $2$ y $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Paso 3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.5.2

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Paso 3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Paso 3.7

Multiplica $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

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Paso 3.7.1

Combina $5$ y $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Paso 3.7.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$