Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Paso 2.2.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 5.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Paso 8.2.1.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Paso 8.2.1.4

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.4

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 8.2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.5.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.2.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.2.5.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.2.6

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.2.6.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Paso 8.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 8.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Paso 8.2.6.2.4

Divide $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Paso 8.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$- 2.82842712 \dots$