Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 8.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 10

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 11.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 11.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 11.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 11.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{- 2} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (- x^{- 1} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$\frac{- 1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$