Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Paso 1.2.2

Factoriza $3 x$ de $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Paso 1.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Paso 3

Sea $u = 3 x (x + 2)$ . Entonces $d u = (6 x + 6) d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 x (x + 2)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Paso 3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x (x + 2)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4

Diferencia.

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Paso 3.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Paso 3.1.4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.4.6.1

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Paso 3.1.4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Paso 3.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.1.5.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Paso 3.1.5.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x + 6$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Paso 4.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 6.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 6.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 6.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$