Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2} - 1$ y $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Paso 3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Paso 5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $(x^{2} - 1) e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Paso 6.2

Evalúa $x e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Paso 6.3

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.3

Simplifica.

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.4

Multiplica $0$ por $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.6

Resta $1$ de $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.9

Multiplica $1$ por $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.10

Suma $0$ y $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.11

Simplifica.

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.12

Multiplica $e$ por $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.13

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.14

Multiplica $0$ por $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.15

Suma $e$ y $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Paso 6.4.16

Simplifica.

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Paso 6.4.17

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Paso 6.4.18

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 2 (e - e - - 1)$

Paso 7.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 2 (e - e + 1)$

Paso 7.1.2

Resta $e$ de $e$ .

$1 - 2 (0 + 1)$

Paso 7.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$1 - 2$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 1$

Paso 8