Cálculo Ejemplos

$x \cdot \ln (x)$

Paso 1

Escribe $x \cdot \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x \cdot \ln (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot \ln (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Paso 7.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 7.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 7.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Paso 7.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{\ln (x)}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Paso 9.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$