Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

Paso 1.1.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

Paso 1.1.1.1.6

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Paso 1.1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 1.1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $A ({(x - 1)}^{2})$ por $1$ .

$1 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.2

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$1 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.6

Simplifica.

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Paso 1.1.7.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.6.2

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.7

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.7.7.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.7.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Paso 1.1.7.8

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.8.1

Factoriza $x - 1$ de $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

Paso 1.1.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.7.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 1.1.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

Paso 1.1.7.8.2.4

Divide $C (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

Paso 1.1.7.9

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.7.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.7.11

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.7.12

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

Paso 1.1.7.13

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

Paso 1.1.7.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.8.3

Mueve $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

Paso 1.1.8.4

Mueve $B x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

Paso 1.1.8.5

Mueve $- 2 x A$ .

$1 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + C$ por $1$ .

$0 = (1) + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 2 A + B - 1 C$ por $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.4.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 = - 2 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Paso 1.3.2.4.1.2

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

Paso 1.3.3

Resuelve $C$ en $0 = 1 + C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + C = 0$ .

$1 + C = 0$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $0 = - 2 + B - C$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $- 2 + B - (- 1)$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 2 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Paso 1.3.4.2.1.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Paso 1.3.5

Resuelve $B$ en $0 = B - 1$ .

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $B - 1 = 0$ .

$B - 1 = 0$

$C = - 1$

$A = 1$

Paso 1.3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

Paso 1.3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 C = - 1 A = 1$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, C = - 1, A = 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$(\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{x - 1} d x) d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - (\ln (| u_{2} |) + C)) d x$

Paso 10

Simplifica.

$(- {u_{1}}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| x - 1 |})) d x + C$