Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{π - π}$

Paso 1.3.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.7

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + 0}$

Paso 3.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{- 3}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- 3}{2} \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$