Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x)$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 4.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 4.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \cdot 1$

Paso 4.4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Paso 4.5.3

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Paso 4.5.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$