Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \arctan (\frac{x}{y})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\arctan (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Paso 2.3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Paso 2.3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Paso 2.3.7

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ por $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Paso 2.3.8

Combina $2$ y $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Paso 2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Paso 2.4.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Paso 2.4.4.3

Combina $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ y $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Paso 2.4.4.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 2.4.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Paso 2.4.4.4.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 2.4.4.5

Para escribir $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 2.4.4.6

Combina $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ y $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 2.4.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.1

Expande $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.6.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.6.2.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.6.2.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 2.4.6.2.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.3

Multiplica $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.4.1

Factoriza $2$ de $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ .

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Paso 2.4.6.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 y^{3} y'$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 y y' x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.6

Factoriza $2$ de $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.1.7

Factoriza $2$ de $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.6.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.5

Cancela el factor común de $y^{2} + x^{2}$ y $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.4.6.5.1

Reordena los términos.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.5.3

Divide $2 (x + y y')$ por $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7

Factoriza $2$ de $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ .

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Paso 2.4.6.7.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.2

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.3

Factoriza $2$ de $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.4

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.6

Factoriza $2$ de $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.4.6.7.7

Factoriza $2$ de $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Divide $x + y y' - x y' + y$ por $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y y' - x y' + y = - x$

Paso 5.2.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y y' - x y' = - x - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y y' - x y'$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $y'$ de $y y'$ .

$y' y - x y' = - x - y$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - x - y$

Paso 5.2.4

Divide cada término en $y' (y - x) = - x - y$ por $y - x$ y simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Divide cada término en $y' (y - x) = - x - y$ por $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común de $y - x$ .

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Paso 5.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Paso 5.2.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Paso 5.2.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Paso 5.2.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Paso 5.2.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.4.3.5.1

Reescribe $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Paso 5.2.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$