Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Paso 1

Divide $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ por $t^{2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 t^{3} + 0 + 16 t$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- t^{2} + 0 - 4$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Paso 8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reordena $t^{2}$ y $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Paso 8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Paso 10.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Combina $4$ y $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Paso 10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Paso 10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Paso 10.3.2.2.4

Divide $2 \arctan (\frac{t}{2})$ por $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Paso 10.4

Reordena los términos.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$