Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Paso 4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Paso 4.2.2.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$