Cálculo Ejemplos

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Escribe $3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ como una función.

$f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

Paso 9

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 11.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $4$ .

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Paso 11.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 11.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$