Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{3} - x}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{x^{3} - x}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3} - x} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - x}$

Paso 4.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Paso 4.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1)}$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza.

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Paso 4.1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 4.1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 4.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 4.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.1.2

Divide $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.8.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$1 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$1 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.6

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.8.7.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.7.2

Divide $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.8

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.11

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.12

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.14

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.1.8.14.1

Cancela el factor común.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Paso 4.1.8.14.2

Divide $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Paso 4.1.8.15

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Paso 4.1.8.16

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Paso 4.1.8.17

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Paso 4.1.8.18

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Paso 4.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.9.1

Mueve $B$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Paso 4.1.9.2

Mueve $- A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Paso 4.1.9.3

Mueve $- x B$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B + C$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A$

Paso 4.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 1 A$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B + C$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B + C$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B + C = 0$ .

$- 1 + B + C = 0$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Paso 4.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1 - C$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = - 1 B + C$ por $1 - C$ .

$0 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.1

Simplifica $- 1 (1 - C) + C$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- C)$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.4.2.1.1.3.2

Multiplica $C$ por $1$ .

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.4.2.1.2

Suma $C$ y $C$ .

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.5

Resuelve $C$ en $0 = - 1 + 2 C$ .

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Paso 4.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + 2 C = 0$ .

$- 1 + 2 C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.5.3

Divide cada término en $2 C = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.5.3.1

Divide cada término en $2 C = 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 1 - C$ por $\frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (\frac{1}{2})$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 4.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Paso 4.3.6.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$B = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 4.3.6.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{2 - 1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 4.3.6.2.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 4.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{2}, A = - 1$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 4.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 4.5.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 9

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 12

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 12.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 12.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 12.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$