Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 8.2

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 8.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Paso 10.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Paso 10.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$