Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(- 1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Paso 1.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Paso 1.2.5.3

Reordena los términos.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Paso 1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Paso 1.5.1.3

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 x y'$ de $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 x y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 x y'$ de $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 x y'$ de $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ por $2 x (x y - 1)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ por $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2.3

Cancela el factor común de $x y - 1$ .

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Paso 1.5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.7.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.1.7.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.3

Para escribir $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x y - 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.3.4.1

Multiplica $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.4.2

Reordena los factores de $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.6.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.5.3.3.7.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.4

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.5

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.7.6.1

Reescribe $- (y^{2} x + x - y)$ como $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Paso 1.5.3.3.7.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 1$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$- \frac{y^{2} (- 1) - 1 - y}{(- 1) ((- 1) \cdot y - 1)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$- \frac{{(0)}^{2} (- 1) - 1 - (0)}{(- 1) ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{0 \cdot - 1 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$- \frac{0 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{0 - 1 + 0}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.3.4

Suma $0 - 1$ y $0$ .

$- \frac{0 - 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 (0 - 1)}$

Paso 1.7.4.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 \cdot - 1}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{- 1}{1}$

Paso 1.7.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Paso 1.7.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(- 1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$y = x + 1$

Paso 3