Cálculo Ejemplos

$y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x - \frac{π}{2})]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - \frac{π}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - \frac{π}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - \frac{π}{2}$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.6

Como $- \frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.8

Suma $2$ y $0$ .

$3 (\cos (2 x - \frac{π}{2}) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x - \frac{π}{2})$ .

$3 (2 \cdot \cos (2 x - \frac{π}{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \cos (2 x - \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \cos (2 x - \frac{π}{2}) + 0$

Paso 1.3.2

Suma $6 \cos (2 x - \frac{π}{2})$ y $0$ .

$6 \cos (2 x - \frac{π}{2})$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \cos (2 x - \frac{π}{2})$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (2 x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin (2 x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - 6 (\sin (2 x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) (2 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Paso 2.3.6

Como $- \frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) (2 + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x - \frac{π}{2}) \cdot 2$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x - \frac{π}{2})$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 \cos (2 x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $6 \cos (2 x - \frac{π}{2}) = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $6 \cos (2 x - \frac{π}{2}) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 \cos (2 x - \frac{π}{2})}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cos (2 x - \frac{π}{2})}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 4.2.1.2

Divide $\cos (2 x - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (2 x - \frac{π}{2}) = \frac{0}{6}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$\cos (2 x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x - \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π + π}{2}$

Paso 7.3

Suma $π$ y $π$ .

$2 x = \frac{2 π}{2}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$2 x = \frac{2 π}{2}$

Paso 7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$2 x = π$

Paso 8

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 9

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 10.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.1.2

Combina fracciones.

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Paso 10.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 10.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 10.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 10.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{3 π + π}{2}$

Paso 10.2.3

Suma $3 π$ y $π$ .

$2 x = \frac{4 π}{2}$

Paso 10.2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 10.2.4.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2}$

Paso 10.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Paso 10.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x = \frac{2 π}{1}$

Paso 10.2.4.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 x = 2 π$

Paso 10.3

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.3.1

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.3.3.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Paso 11

La solución a la ecuación $2 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Cancela el factor común.

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 13.1.2

Reescribe la expresión.

$- 12 \sin (π - \frac{π}{2})$

Paso 13.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 13.3

Combina fracciones.

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Paso 13.3.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 13.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 12 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Paso 13.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$- 12 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Paso 13.4.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$- 12 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 13.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Paso 13.6

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12$

Paso 14

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (π - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.3

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Paso 15.2.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 + 1$

Paso 15.2.1.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 1$

Paso 15.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 \sin (2 (π) - \frac{π}{2})$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 17.2

Combina fracciones.

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Paso 17.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 12 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 17.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 12 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Paso 17.3

Simplifica el numerador.

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Paso 17.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 12 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

Paso 17.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$- 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 17.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 17.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

Paso 17.6

Multiplica $- 12 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 17.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 12 \cdot - 1$

Paso 17.6.2

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$12$

Paso 18

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 3 \sin (2 (π) - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 3 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 19.2.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 1$

Paso 19.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (π) = 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}) + 1$

Paso 19.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (π) = 3 \sin (\frac{4 π - π}{2}) + 1$

Paso 19.2.1.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$f (π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Paso 19.2.1.5

$f (π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Paso 19.2.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 1$

Paso 19.2.1.7

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 19.2.1.7.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (π) = - 3 + 1$

Paso 19.2.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$f (π) = - 2$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ .

$(\frac{π}{2}, 4)$ es un máximo local

$(π, - 2)$ es un mínimo local

Paso 21