Cálculo Ejemplos

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 5$ y $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 3.2.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

Paso 3.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

Paso 3.2.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4

Combina los términos.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

Paso 3.3.4.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

Paso 3.3.4.8

Suma $3 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$9 x^{2} + 2 x + 15$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$