Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.3

Como $100 e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.4.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.5

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina los términos.

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Paso 1.6.1.1

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Paso 1.6.1.2

Suma $e^{x} + 32 x^{3}$ y $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $32 x^{3} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x^{3}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$