Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Paso 4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 6.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2}{1 - 2 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 6.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$