Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - \cos (5 x)$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 2.4

Divide $2 \cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Paso 3.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - \cos (5 \cdot 0)$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$2 - \cos (0)$

Paso 5.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Paso 5.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Paso 5.2

Resta $1$ de $2$ .

$1$