Cálculo Ejemplos

$\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)} d x$

Paso 4

Sea $u = 12 + \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 12 + \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $12 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [12 + \cos (x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.1.2.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Paso 4.1.4

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 5

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $12 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$