Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Paso 5.2

Combinar.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5.8

Multiplica $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 5.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 7.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Expande $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Para escribir $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 15.2

Combina $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Paso 15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 15.4

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.1

Factoriza $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

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Paso 15.4.1.1

Mueve ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 15.4.1.2

Factoriza $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Paso 15.4.1.3

Factoriza $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Paso 15.4.1.4

Factoriza $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Paso 15.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Paso 15.4.3.2

Simplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

Paso 15.4.4

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

Paso 15.4.5

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 15.4.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

Paso 15.4.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

Paso 15.4.5.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

Paso 15.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Paso 15.5

Combinar.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Paso 15.6

Cancela el factor común.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Paso 15.7

Reescribe la expresión.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

Paso 15.8

Multiplica ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$