Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Paso 1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Paso 1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6

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Paso 6.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 9.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 9.2.5

Factoriza $5$ de $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Paso 9.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.6.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Paso 9.2.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Paso 9.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Paso 9.2.6.4

Divide $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$