Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\frac{1}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

Paso 3

Reescribe $x \ln (\frac{1}{x})$ como $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Paso 4.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.9

Resta $2$ de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 4.3.11

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 4.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Paso 4.3.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 4.5

Combina factores.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

Paso 4.5.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Paso 4.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.3

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

Paso 4.6.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{0}$

Paso 6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$