Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(3 i - 2)}^{2}$ como $(3 i - 2) (3 i - 2)$ .

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

Paso 1.2

Expande $(3 i - 2) (3 i - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $i$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $i$ por $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

Paso 1.3.2

Resta $6 i$ de $- 6 i$ .

$9 i^{2} - 12 i + 4$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

Paso 3

Evalúa $9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $14$ y $1$ .

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $56$ por $15$ .

$9 (\frac{840}{6})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{840}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{840}{2})$

Paso 3.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{840}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $3$ por $840$ .

$\frac{2520}{2}$

Paso 3.3.2.4.2

Divide $2520$ por $2$ .

$1260$

Paso 4

Evalúa $12 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1.1

Suma $7$ y $1$ .

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $7$ por $8$ .

$- 12 (\frac{56}{2})$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 6 \cdot 56$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 6$ por $56$ .

$- 336$

Paso 5

Evalúa $\sum_{i = 1}^{7} 4$ .

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Paso 5.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 5.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(4) (7)$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$28$

Paso 6

Suma los resultados de las sumas.

$1260 - 336 + 28$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Resta $336$ de $1260$ .

$924 + 28$

Paso 7.2

Suma $924$ y $28$ .

$952$