Cálculo Ejemplos

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

Paso 1.2.9

Suma $6 x - 6$ y $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ .

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 6 x - 6$ y $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} - 12 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.5

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.9

Suma $12 x - 12$ y $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Paso 2.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.2.11

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.2.13

Multiplica $6$ por $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Paso 2.2.14

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

Paso 2.2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.15.1

Suma $6$ y $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

Paso 2.2.15.2

Mueve $6$ a la izquierda de $6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $12$ por $6$ .

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.6

Multiplica $12$ por $- 6$ .

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.7

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.8

Multiplica $- 6$ por $- 12$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.9

Resta $72 x$ de $- 72 x$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.10

Multiplica $6$ por $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.11

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.5.12

Multiplica $6$ por $2$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

Paso 2.3.5.13

Suma $72 x^{2}$ y $36 x^{2}$ .

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

Paso 2.3.5.14

Resta $72 x$ de $- 144 x$ .

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

Paso 2.3.5.15

Suma $72$ y $12$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$