Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(k + 1)}^{2}$ como $(k + 1) (k + 1)$ .

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

Paso 1.2

Expande $(k + 1) (k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $k$ por $1$ .

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

Paso 1.3.2

Suma $k$ y $k$ .

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

Paso 1.4

Expande $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $k^{2}$ por $k$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.3

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.3.1

Mueve $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.3.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.5

Multiplica $k$ por $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

Paso 1.6

Suma $- 3 k^{2}$ y $2 k^{2}$ .

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

Paso 1.7

Suma $- 6 k$ y $k$ .

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Paso 1.8

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Paso 2

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Paso 3.4

Resta $25$ de $125$ .

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

Paso 3.5

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$100 - 25 - 3$

Paso 3.6

Resta $25$ de $100$ .

$75 - 3$

Paso 3.7

Resta $3$ de $75$ .

$72$