Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{6}{3}$ y $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Factoriza $3$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.2.5.2.4

Divide $2 x^{5}$ por $1$ .

$2 x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $\frac{5}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{6} (4 x^{3})$

Paso 1.1.4.3

Combina $4$ y $\frac{5}{6}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 5}{6} x^{3}$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20}{6} x^{3}$

Paso 1.1.4.5

Combina $\frac{20}{6}$ y $x^{3}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{6}$

Paso 1.1.4.6

Cancela el factor común de $20$ y $6$ .

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Paso 1.1.4.6.1

Factoriza $2$ de $20 x^{3}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{6}$

Paso 1.1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{2 (3)}$

Paso 1.1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{10 x^{3}}{3}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{10 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $\frac{10}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10}{3} (3 x^{2})$

Paso 1.2.4.3

Combina $3$ y $\frac{10}{3}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 10}{3} x^{2}$

Paso 1.2.4.4

Multiplica $3$ por $10$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{30}{3} x^{2}$

Paso 1.2.4.5

Combina $\frac{30}{3}$ y $x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{30 x^{2}}{3}$

Paso 1.2.4.6

Cancela el factor común de $30$ y $3$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Factoriza $3$ de $30 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3}$

Paso 1.2.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)}$

Paso 1.2.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{1}$

Paso 1.2.4.6.2.4

Divide $10 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $10 x^{2}$ de $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $10 x^{2}$ de $10 x^{4}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $10 x^{2}$ de $20 x^{3}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x) + 10 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $10 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x) + 10 x^{2} (1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $10 x^{2}$ de $10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x)$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x) + 10 x^{2} (1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $10 x^{2}$ de $10 x^{2} (x^{2} + 2 x) + 10 x^{2} (1)$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$10 x^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $10 x^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{3} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.5

Multiplica $\frac{5}{6}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{6} + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6} \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $\frac{5}{6}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - 1 + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} - 1 + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.3

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.4

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.6

Reordena los factores de $3 \cdot 2$ .

$f (- 1) = \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{2 - 1 \cdot 6 + 5}{6}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 6 + 5}{6}$

Paso 3.3.2.4.2

Resta $6$ de $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 5}{6}$

Paso 3.3.2.4.3

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ es $(- 1, \frac{1}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \frac{1}{6})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 1, \frac{1}{6})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 10 {(- 1.1)}^{4} + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.1) = 10 \cdot 1.4641 + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $10$ por $1.4641$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 + 20 \cdot - 1.331 + 10 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $20$ por $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 10 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 10 \cdot 1.21$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $10$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 12.1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $26.62$ de $14.641$ .

$f'' (- 1.1) = - 11.979 + 12.1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 11.979$ y $12.1$ .

$f'' (- 1.1) = 0.121$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.121$ .

$0.121$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $0.121$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1}{16}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (5) (\frac{1}{16}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{8}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Combina $5$ y $\frac{1}{8}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1}{2^{3}}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (\frac{- 1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 (5) (\frac{- 1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12.4

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.12.5

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 5 (\frac{- 1}{2}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.13

Combina $5$ y $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot - 1}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.14

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{- 5}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.16

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.16.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Paso 6.2.1.16.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.17

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.18

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.19

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.20

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1}{4})$

Paso 6.2.1.21

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.21.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 (5) (\frac{1}{4})$

Paso 6.2.1.21.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.2.1.21.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.2.1.21.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.22

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{- 5 + 5}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{0}{2}$

Paso 6.2.2.2.2

Divide $0$ por $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 0$

Paso 6.2.2.2.3

Suma $\frac{5}{8}$ y $0$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8}$

Paso 6.3

En $- \frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $0.625$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 0)$ .

Incremento en $(- 1, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 10 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.1) = 10 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $10$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 20 \cdot 0.001 + 10 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 10 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 10 \cdot 0.01$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $10$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 0.1$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.2.1

Suma $0.001$ y $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.021 + 0.1$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.021$ y $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.121$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.121$ .

$0.121$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.121$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión