Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ at $x = - 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$y = 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$

Paso 1.2

Simplifica $3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = 3 \cdot 4 + 4 (- 2)$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = 12 + 4 (- 2)$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$y = 12 - 8$

Paso 1.2.2

Resta $8$ de $12$ .

$y = 4$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$6 x + 4$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$6 (- 2) + 4$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- 12 + 4$

Paso 2.5.2

Suma $- 12$ y $4$ .

$- 8$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 8$ y un punto dado $(- 2, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 8 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = - 8 x - 8 \cdot 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$y - 4 = - 8 x - 16$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 8 x - 16 + 4$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 16$ y $4$ .

$y = - 8 x - 12$

Paso 4