Cálculo Ejemplos

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 5 x - 1$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.6.3

Mueve ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.8

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.10

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + 0)$

Paso 3.12

Combina fracciones.

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Paso 3.12.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 5$

Paso 3.12.2

Combina $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $5$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$