Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$ como $e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{3 x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{3 x}$ y $\ln (1 - \sin (2 x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{3 x}}$

Paso 2.3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - \sin (2 x)$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{1}{1 - \sin (2 x)}$ y $\cos (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.11

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Paso 4.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Paso 4.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Paso 4.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$e^{\frac{- 1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{3}) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (0)}}$

Paso 6.6.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 0}}$

Paso 6.6.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 + 0}}$

Paso 6.6.4

Suma $1$ y $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.7.1

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Paso 6.7.2

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot 1}$

Paso 6.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{2}{3}}$

Paso 6.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{2}{3}}}$