Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Paso 10

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $t$ en $x$ y en $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Paso 12.2.2

Evalúa $\frac{t^{2}}{2}$ en $x$ y en $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Paso 12.2.3

Evalúa $\frac{t^{3}}{3}$ en $x$ y en $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Paso 12.2.4

Evalúa $\frac{t^{4}}{4}$ en $x$ y en $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Suma $x$ y $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.5

Suma $\frac{x^{2}}{2}$ y $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.6

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.5.7.1

Cancela el factor común.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.7.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.9.2.2

Cancela el factor común.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.9.2.3

Reescribe la expresión.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.11

Suma $\frac{x^{3}}{3}$ y $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.12

Combina $3$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.5.13.1

Cancela el factor común.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.13.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Paso 12.2.5.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Paso 12.2.5.15

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.15.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Paso 12.2.5.15.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.15.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 12.2.5.15.2.2

Cancela el factor común.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 12.2.5.15.2.3

Reescribe la expresión.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Paso 12.2.5.15.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Paso 12.2.5.16

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Paso 12.2.5.17

Suma $\frac{x^{4}}{4}$ y $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Paso 12.2.5.18

Combina $4$ y $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Paso 12.2.5.19

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.5.19.1

Cancela el factor común.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Paso 12.2.5.19.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$