Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

Paso 4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x^{4}$ . Entonces $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x^{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Paso 8

Sea $u_{2} = u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 8.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$