Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 t - 3}{t + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 2 t - 3$ y $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 3] - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(t + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 2) (2 + 0) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 2 - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t + 2$ .

$\frac{2 \cdot (t + 2) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 t + 4 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 t + 4 - 2 t + 3$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 t$ de $2 t$ .

$\frac{0 + 4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$