Cálculo Ejemplos

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = {(x - 5)}^{2}$ y $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 2 x - 10$ y $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

Paso 6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ como $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ .

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Paso 7.2.2

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Paso 7.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Paso 7.2.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

Paso 7.3.3

Reordena los factores en $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$