Cálculo Ejemplos

$\int \frac{8 x - 3}{{(4 x^{2} - 3 x)}^{4}} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Entonces $d u = (8 x - 3) d x$ , de modo que $\frac{1}{8 x - 3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$8 x - 3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 4}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Paso 4.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 3 x$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 3 x)}^{3}} + C$