Cálculo Ejemplos

$y = 7 x^{3} - 5 x^{2} + x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} - 5 x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 10 x + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $21 x^{2} - 10 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21 x^{2}$ con respecto a $x$ es $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $21$ .

$42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$42 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$42 x - 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$42 x - 10 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $42 x - 10$ y $0$ .

$f'' (x) = 42 x - 10$