Cálculo Ejemplos

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 7 x + e^{4 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 7 x d x + \int e^{4 x} d x$

Paso 3

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int x d x + \int e^{4 x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{4 x} d x$

Paso 5

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 5.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$