Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

Paso 1

Reescribe $x \ln (x + x^{2})$ como $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x + x^{2})$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6.2

Factoriza $x$ de $x + x^{2}$ .

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Paso 2.3.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6.2.3

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x \cdot x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6.3

Multiplica $1 + 2 x$ por $\frac{1}{x (1 + x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $x$ de $(1 + 2 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Paso 2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Paso 2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

Paso 2.7

Reordena los factores en $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Paso 3.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Paso 3.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 3.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $0$ por $1 + 2 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Paso 5.2

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Paso 5.3

Divide $0$ por $1$ .

$- 0$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$