Cálculo Ejemplos

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ .

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Paso 2.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cot (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 3.4

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Paso 4.4.2.1

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $2$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2.2

Combina $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.3

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.7

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.4.7.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Paso 4.4.9

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 4.4.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.4.12

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.6

Reordena $2 \cos^{2} (x)$ y $- 2$ .

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.7

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.8

Factoriza $- 2$ de $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.9

Factoriza $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.10

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.11

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ y $\sin (x)$ .

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Paso 4.11.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.11.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.11.2.4

Divide $- 2 \sin (x)$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.12

Simplifica cada término.

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Paso 4.12.1

Multiplica por $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Paso 4.12.2

Separa las fracciones.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4.12.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

Paso 4.12.4

Divide $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$