Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Paso 1

Evalúa $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

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Paso 1.1

Dado que $\sin^{2} (x)$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $\sin^{2} (x)$ fuera de la integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Paso 1.2

Sea $u = \sin (θ)$ . Entonces $d u = \cos (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.2.1

Deja $u = \sin (θ)$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 1.2.1.1

Diferencia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Paso 1.2.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.2.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Paso 1.2.5.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Paso 1.3

Expande $u (\sin (x) - u)$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Paso 1.3.2

Reordena $u$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Paso 1.3.3

Factoriza el negativo.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Paso 1.3.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Paso 1.3.5

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Paso 1.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Paso 1.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Paso 1.3.8

Reordena $u \sin (x)$ y $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Paso 1.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Paso 1.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Paso 1.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Paso 1.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Paso 1.8

Dado que $\sin (x)$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\sin (x)$ fuera de la integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Paso 1.9

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Paso 1.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Paso 1.11

Sustituye y simplifica.

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Paso 1.11.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Paso 1.11.2

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $0$ y en $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3

Simplifica.

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Paso 1.11.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 1.11.3.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 1.11.3.4.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.11.3.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Paso 1.11.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Paso 1.11.3.11

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.11.3.11.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Paso 1.11.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Paso 1.11.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Paso 1.11.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Paso 1.11.3.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Paso 1.11.3.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Paso 1.11.3.13

Suma $0$ y $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Paso 1.11.3.14

Multiplica $\sin (x)$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Paso 1.11.3.15

Suma $0$ y $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Paso 1.11.3.16

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Paso 2

Evalúa $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

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Paso 2.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Paso 2.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 2.2.1

Evalúa $0$ en $π$ y en $0$ .

$(0) + 0$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$