Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{e^{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{e^{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Paso 7.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Paso 8

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Paso 11

Reescribe $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ como $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$